第一章 绪 论
第一章 绪 论
一、最优控制简介
二、最优控制发展过程
三、最优控制应用举例
四、小结
五、本科程主要内容
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一、最优控制简介
在生产过程、军事行动、经济活动以及人类的其它有目的的活动中，
常需要对被控系统或被控过程施加某种控制作用以使某个性能指标达到
最优，这种控制作用称为最优控制。
二、最优控制发展过程
以后，拉塞尔（LaSalle）发展了时间最优控制的理论，即所谓Bang—
Bang控制理论。
1953至1957年间美国学者贝尔曼（Bellman）创立了“动态规划”理论，发展
了变分学中的哈密顿—雅可比（Hamilton—Jacobi）理论。
上世纪五十年代初期布绍（Bushaw）研究了伺服系统的时间最优控制
问题。
1956至1958年间苏联学者庞特里雅金等创立了“极大值原理”。这两
种方法成为了目前最优控制理论的两个柱石。
时至今日，最优控制理论的研究无论在深度上和广度上都有了很大的
发展，例如发展了对分布参数系统、随机系统、大系统的最优控制理论的
研究等等。
三、最优控制应用举例
例1-1 火车快速运行问题。设有一列火车从甲地出发，要求算出容许的控制使其
到达乙地的时间最短。
火车的运动方程
u ( t )
x
m
（1-1）
( )
u t
M
（1-2）
式中， 是火车的质量， 是火车的加速度，为使旅客舒适，其值有限制。 是
产生加速度的控制作用（即推力），其值也应有限制，设
x
( t )
u
m
选择 使 为最小。
u ( t )
( u )
J
初始条件
0
0
( )
x t
x
0
( )
0
x t
（1-3）
终端条件
f
f
x
x t
)
(
0
)
(
f t
x
（1-4）
性能指标
0
0
( )
t
t
dt
J u
f
t
t
f
（1-5）
月球软着陆问题。为了使宇宙飞船在月球表面上实现软着陆（即着陆
时速度要为零），要寻求着陆过程中发动机推力的最优控制规律，使得燃料
的消耗最少。设飞船的质量为 ，离月球表面的高度为 ，飞船的垂直速
度为 ，发动机推力为 ，月球表面的重力加速度为 ，设不带燃料的飞
船质量为 ，初始燃料的质量为 ，则飞船的运动方程可表示为（参见图1-1）
( )
m t
( )
h t
( )
v t
( )
u t
g
M
F
例1-2
图1-1 月球软着陆最优控制问题
( )
( )
t
h t
)
(
( )
( )
t
m
u t
g
t
( )
( )
ku t
m t
（1-6）
式中 为比例系数，表示了推力与燃
料消耗率的关系。
k
控制目的是使燃料消耗量最小，即飞船在着陆时的质量保持最大，即
)
(
)
(
m f t
J u
为最大。
（1-10）
a
u t
( )
0
容许控制
（1-9）
0
)
(
h f t
0
)
(
f t
终端条件
（1-8）
0
( 0 )
h
h t
0
( 0 )
t
F
M
m t
)
( 0
初始条件
（1-7）
